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是乘法交换律还是乘法交换律和乘法结合律
作者: 黄开杰    评论数/浏览数:3/1984    发表日期: 2013-12-03 22:06:45    添加到收藏夹   推荐此文章
对其运用的运算律是乘法交换律还是乘法交换律和乘法结合律,一些学生和教师产生分歧

有这样一道题:你能用简便算法计算吗?(2)5×37×2=5×2×37=10×37=370。对其运用的运算律是乘法交换律还是乘法交换律和乘法结合律,一些学生和教师产生分歧,下课后老师们在办公室内你一言我一语的争论起来。争论半天,大致分为三种观点:

一、运用了乘法交换律和乘法结合律

(1)算式5×37×2中的乘数372先交换了位置,然后52结合。认为乘法结合律的核心是谁与谁结合后使计算简便。

(2)苏教版小学数学四年级上册《教师教学用书》(以下简称“教参”)138页针对该题有这样的叙述:对于5×37×2,“要使学生认识到:仅仅应用乘法结合律,还不能使计算简便,还得先应用乘法交换律交换乘数537(372)的位置,再应用乘法结合律,才可以使计算简便。”教参的意思应为:先应用乘法交换律交换乘数537的位置,即:5×37×2=37×(5×2)=37×10=370或交换乘数372的位置,即:5×37×2=5×2×37=10×37=370。所以交换乘数372的位置的算法是运用了乘法交换律和乘法结合律。

二、5×37×2=5×2× 37时只运用了乘法交换律,5×37×2=(52)× 37时运用了乘法交换律和乘法结合律

算式5×37×2中乘数372交换位置后按运算顺序就应该先计算52的积,运算顺序没发生变化,乘法结合律的核心是改变算式的运算顺序。5×37×2=(5×2)×37时添加了小括号,结合律的重要标志是小括号的应用(《小学教材完全解读》江苏版四年级数学上册/吉林人民出版社/刘慧主编第93)

三、只运用了乘法交换律

(1)算式5×37×2中乘数372交换位置后按运算顺序就应该先计算52的积,运算顺序没发生变化,乘法交换律的本质是乘数的位置发生变化而运算顺序不变;乘法结合律的核心乘数的位置不变而算式的运算顺序改变。5×37×2中交换乘数372的位置后为5×2×37,然后按运算顺序脱式计算“=10×37=370

(2)《小学单元测试AB卷》苏教版四年级上册(马振生主编/青海人民出版社)41页填空题5:把符合要求的算式序号填在括号里。①(20+40)+60=20+(40+60) 8×5×9=5×9×8 a+125+75=125+75+a 40+(60+b)=(40+60)+b……应用了加法交换律的是();应用了加法结合律的是();应用了乘法交换律的是();应用了乘法结合律的是()。其中②和③中的乘数(加数)交换位置,参考答案是应用了乘()法交换律,而不是应用了乘()法交换律和结合律。

老师们争辩后认为第二种观点仅凭加与不加括号判断是否应用结合律的观点不可取,在这里括号加与不加都不改变运算顺序,只起到强调先算“52的积”的作用。坚持第一、第三种观点的老师一时难分伯仲。

就“结合”的定义,《现代汉语词典》(商务印书馆/第5)中这样解释:动词,人或事物间发生密切联系。就“结合律”而言,就是乘数(加数)间发生密切联系。这也是持第一种观点的教师的理解:只要是两个乘()数相乘()就是“结合”。真的是这样吗?

笔者倾向于第三种观点。关于乘法(加法)的交换律和结合律,教材中虽然没有给出具体的文字叙述,但教参第130页倒数第二段也指出“加法结合律涉及到的加数位置不变,只是改变了运算顺序”,由此可以推及“乘法结合律涉及到的乘数位置不变,只是改变了运算顺序”。从算式5×37×2交换乘数位置变成5×2×37,算式的运算顺序都是从左到右依次计算,运算顺序没有改变。

下班后我翻阅发现西南师大版小学数学四年级下册第19页例3也有一道类似的例题:8×9×125。《数学教学参考书》第48页就明确叙述:如果把算式中的1259交换,则是乘法交换律的单独应用,如果把算式中的89交换,则它又是乘法交换律与乘法结合律的综合应用。即:8×9×125=8×125×9=1000×9=9000是乘法交换律的单独应用,8×9×125=9×(8×125)=9×1000=9000才是运用了乘法交换律和乘法结合律。

由此看来该算法只应用了乘法交换律的观点是正确的。




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